L'elemento caratterizzante delle 29er sono le ruote, nel bene e nel male. Una ruota più grande infatti insieme a maggiore trazione e migliore scavalcamento degli ostacoli ha una maggiore inerzia, che si ripercuote sulla capacità di accelerazione della ruota e conseguentemente di tutta la bicicletta. Mi sono provato a calcolare quanta sia questa inerzia, cioè quanta energia ci vuole ad accelerare una ruota sia in valore assoluto che soprattutto in relazione all'energia necessaria per accelerare tutto il complesso bici+biker.
Chi non fosse interessato al metodo, può saltare la sezione che inizia qui sotto e passare direttamente ai risultati.
Teoria e metodo
Il sistema più immediato per calcolare quanta energia ci vuole per accelerare una bici ad una certa velocità è la formula dell energia cinetica: un corpo di massa m e velocità v ha unenergia pari a ½ mv^2. Le ruote, oltre a spostarsi secondo un moto rettilineo insieme alla bici ed al biker, ruotano intorno ad un asse, immagazzinando anchesse una certa energia cinetica, che si esprime con una formula simile ma che tiene conto del moto diverso (circolare anziché rettilineo): lenergia cinetica di un corpo in rotazione è pari a ½ I ω, dove I è il momento dinerzia del corpo, e ω è la velocità angolare. La formula cambia perchè la seconda legge della dinamica F = m a (forza= massa x accelerazione) nel moto rotatorio diventa M = m r^2 α; , dove m è sempre la massa, r è il raggio di rotazione e α laccelerazione angolare: m r^2 viene chiamato momento dinerzia (I) così che la legge della dinamica si scrive in maniera analoga in ambedue i casi: F = ma nel moto rettilineo, M (momento) = I α nel moto rotatorio. Così come la massa rappresenta la misura della resistenza di un corpo a mutare velocità di un moto rettilineo, il momento dinerzia rappresenta la resistenza di un corpo a mutare velocità di rotazione: in altre parole, a parità di forza applicata un corpo dotato di momento dinerzia più piccolo accelera prima rispetto ad un corpo con più momento dinerzia, o accelera alla stessa velocità con una forza minore.
Come si calcola il momento dinerzia? Per gli oggetti di alcune forme geometriche esistono delle formule preconfezionate, riportate nei libri di fisica del Liceo. Ai nostri fini in quasi tutti i casi assumeremo che i singoli oggetti in cui si compongono le ruote abbiano dimensioni molto piccole, come se la loro massa si concentrasse in un punto: cosa non vera, ma che per i nostri scopi è unapprossimazione sufficiente.
Scomponiamo la ruota in singoli componenti, e scomponiamo pure alcuni di questi componenti in sottoparti facilmente calcolabili.
A questo punto però occorre iniziare a dare i numeri. Suppongo di avere un biker che pesa 70 kg e due bici, A e B, la prima con ruote da 26 e la seconda con ruote da 29. Le due bici sono identiche in quanto a montaggio e differiscono solo per le ruote, che sono composte dagli stessi mozzi, e da versioni diverse solo per la misura di gomme, cerchi e raggi; la bici da 26" pesa in tutto 10,5 kg, quella da 29" 442 grammi in più che derivano dalle diverse dimensioni del telaio (200 grammi) e delle ruote.
Ipotizziamo che il mozzo anteriore pesi 150 grammi (lasse rimane fermo e quindi non rientra nel calcolo dellinerzia) distribuiti su due flange da 60 mm di diametro e peso 50 grammi luna ed un corpo centrale di diametro 30mm e peso 50 grammi; idem per il mozzo posteriore, che però ha in più la ruota libera da 100 grammi e diametro 50mm.
I cerchi della bici A pesano 400 grammi, hanno un diametro ERD (il diametro interno) di 540mm ed un diametro ERTRO (dove la gomma si fissa) di 559mm: quelli della della bici B hanno un diametro ERD di 604mm ed un diametro ERTRO di 622mm, con un peso superiore del 10%, e quindi di 440 grammi.
Il copertone montato su A pesa 600 grammi ed ha un diametro esterno di 2070 mm; quello montato su B pesa 660 grammi (il 10% in più) e ha un diametro esterno di 2220 mm. Le camere daria sono le stesse da 26 e pesano 120 grammi luna.
Ora dobbiamo calcolare in maniera approssimata ma quanto più possibile corretta il momento dinerzia dei singoli componenti.
Per il cerchio, il copertone, la camera daria ed i nipples possiamo usare lapprossimazione di un cilindro a pareti cave, con la massa concentrata sulla sua superficie laterale. Per il cerchio consideriamo un raggio intermedio tra linterno e lesterno, non proprio in mezzo ma diciamo leggermente spostato verso lesterno, diciamo di 6/10 della differenza tra interno ed esterno; per la gomma facciamo a metà tra il diametro ERTRO e quello esterno (ricavabile dalla circonferenza) e e lo usiamo anche per la camera; per i nipples usiamo i diametro ERTRO. Per i calcoli di questi momenti dinerzia usiamo la formula I = mr^2 .
I mozzi potremmo anche non considerarli, visto che girano molto vicino allasse, ma per verificare quanto poco influiscano calcoliamoli lo stesso. Le flange e la ruota libera sono sostanzialmente dei cilindri pieni (I = ½ mr^2), i corpi invece sono cilindri a pareti sottili (I = mr^2), gli assi non li consideriamo in quanto sono immobili. Per i raggi la cosa si complica un po: usiamo una formula prevista per le sbarre sottili che ruotano su un asse che passa a metà della loro lunghezza l (I = 1/12 m l^2): immaginiamo che un raggio vada da una parte allaltra della ruota come un diametro: calcoliamo il suo momento dinerzia e sottraiamo poi quello della parte che nella realtà non esiste perché cè il mozzo.
Lultimo passo è calcolare velocità e accelerazioni. Ipotizziamo di dover accelerare da 15 a 20 km/h, il classico rilancio, in 2 secondi. Siccome nel calcolo dellenergia cinetica della ruota serve la velocità angolare raggiunta, si converte la velocità lineare della bici in giri di ruota al secondo (che sarà una grandezza diversa tra 26 e 29) e quindi in gradi/secondo ed infine in radianti/secondo.
Ultima avvertenza, ovviamente non sono considerati gli attriti interni (catena su corone e pignoni, pedali, movimento centrale, mozzi) nè l'attrito della ruota sul terreno.
Risultati
I risultati sono quelli che potete vedere nel file Excel che allego al post: la bici A richiede 556.2 joule di energia mentre la bici B ne richiede 561.1, pari allo 0.87% in più. Di questi 4.8 J in più, 1.8 (lo 0.33% del totale) dipendono dalla maggiore inerzia delle ruote, 3.0 (0,54% del totale) dalla maggiore massa.
Dall'analisi dei dati si possono trarre anche altre conclusioni. Per esempio che i mozzi sono abbastanza insignificanti nel calcolo dell' inerzia delle ruote, visto che comportano tra lo 0.08 e lo 0.11 per cento dell'inerzia della ruota (circa 1/100 di J); il loro peso praticamente influisce solo sulla massa inerziale e quindi sull'accelerazione lineare della bici.
Il modello presentato può essere usato anche per altri calcoli. Per esempio per valutare quanto cambia l'inerzia di una ruota variando i componenti, o per paragonare ruote diverse, ovviamente conoscendo le dimensioni ed i pesi dei singoli componenti.
Chi non fosse interessato al metodo, può saltare la sezione che inizia qui sotto e passare direttamente ai risultati.
Teoria e metodo
Il sistema più immediato per calcolare quanta energia ci vuole per accelerare una bici ad una certa velocità è la formula dell energia cinetica: un corpo di massa m e velocità v ha unenergia pari a ½ mv^2. Le ruote, oltre a spostarsi secondo un moto rettilineo insieme alla bici ed al biker, ruotano intorno ad un asse, immagazzinando anchesse una certa energia cinetica, che si esprime con una formula simile ma che tiene conto del moto diverso (circolare anziché rettilineo): lenergia cinetica di un corpo in rotazione è pari a ½ I ω, dove I è il momento dinerzia del corpo, e ω è la velocità angolare. La formula cambia perchè la seconda legge della dinamica F = m a (forza= massa x accelerazione) nel moto rotatorio diventa M = m r^2 α; , dove m è sempre la massa, r è il raggio di rotazione e α laccelerazione angolare: m r^2 viene chiamato momento dinerzia (I) così che la legge della dinamica si scrive in maniera analoga in ambedue i casi: F = ma nel moto rettilineo, M (momento) = I α nel moto rotatorio. Così come la massa rappresenta la misura della resistenza di un corpo a mutare velocità di un moto rettilineo, il momento dinerzia rappresenta la resistenza di un corpo a mutare velocità di rotazione: in altre parole, a parità di forza applicata un corpo dotato di momento dinerzia più piccolo accelera prima rispetto ad un corpo con più momento dinerzia, o accelera alla stessa velocità con una forza minore.
Come si calcola il momento dinerzia? Per gli oggetti di alcune forme geometriche esistono delle formule preconfezionate, riportate nei libri di fisica del Liceo. Ai nostri fini in quasi tutti i casi assumeremo che i singoli oggetti in cui si compongono le ruote abbiano dimensioni molto piccole, come se la loro massa si concentrasse in un punto: cosa non vera, ma che per i nostri scopi è unapprossimazione sufficiente.
Scomponiamo la ruota in singoli componenti, e scomponiamo pure alcuni di questi componenti in sottoparti facilmente calcolabili.
A questo punto però occorre iniziare a dare i numeri. Suppongo di avere un biker che pesa 70 kg e due bici, A e B, la prima con ruote da 26 e la seconda con ruote da 29. Le due bici sono identiche in quanto a montaggio e differiscono solo per le ruote, che sono composte dagli stessi mozzi, e da versioni diverse solo per la misura di gomme, cerchi e raggi; la bici da 26" pesa in tutto 10,5 kg, quella da 29" 442 grammi in più che derivano dalle diverse dimensioni del telaio (200 grammi) e delle ruote.
Ipotizziamo che il mozzo anteriore pesi 150 grammi (lasse rimane fermo e quindi non rientra nel calcolo dellinerzia) distribuiti su due flange da 60 mm di diametro e peso 50 grammi luna ed un corpo centrale di diametro 30mm e peso 50 grammi; idem per il mozzo posteriore, che però ha in più la ruota libera da 100 grammi e diametro 50mm.
I cerchi della bici A pesano 400 grammi, hanno un diametro ERD (il diametro interno) di 540mm ed un diametro ERTRO (dove la gomma si fissa) di 559mm: quelli della della bici B hanno un diametro ERD di 604mm ed un diametro ERTRO di 622mm, con un peso superiore del 10%, e quindi di 440 grammi.
Il copertone montato su A pesa 600 grammi ed ha un diametro esterno di 2070 mm; quello montato su B pesa 660 grammi (il 10% in più) e ha un diametro esterno di 2220 mm. Le camere daria sono le stesse da 26 e pesano 120 grammi luna.
Ora dobbiamo calcolare in maniera approssimata ma quanto più possibile corretta il momento dinerzia dei singoli componenti.
Per il cerchio, il copertone, la camera daria ed i nipples possiamo usare lapprossimazione di un cilindro a pareti cave, con la massa concentrata sulla sua superficie laterale. Per il cerchio consideriamo un raggio intermedio tra linterno e lesterno, non proprio in mezzo ma diciamo leggermente spostato verso lesterno, diciamo di 6/10 della differenza tra interno ed esterno; per la gomma facciamo a metà tra il diametro ERTRO e quello esterno (ricavabile dalla circonferenza) e e lo usiamo anche per la camera; per i nipples usiamo i diametro ERTRO. Per i calcoli di questi momenti dinerzia usiamo la formula I = mr^2 .
I mozzi potremmo anche non considerarli, visto che girano molto vicino allasse, ma per verificare quanto poco influiscano calcoliamoli lo stesso. Le flange e la ruota libera sono sostanzialmente dei cilindri pieni (I = ½ mr^2), i corpi invece sono cilindri a pareti sottili (I = mr^2), gli assi non li consideriamo in quanto sono immobili. Per i raggi la cosa si complica un po: usiamo una formula prevista per le sbarre sottili che ruotano su un asse che passa a metà della loro lunghezza l (I = 1/12 m l^2): immaginiamo che un raggio vada da una parte allaltra della ruota come un diametro: calcoliamo il suo momento dinerzia e sottraiamo poi quello della parte che nella realtà non esiste perché cè il mozzo.
Lultimo passo è calcolare velocità e accelerazioni. Ipotizziamo di dover accelerare da 15 a 20 km/h, il classico rilancio, in 2 secondi. Siccome nel calcolo dellenergia cinetica della ruota serve la velocità angolare raggiunta, si converte la velocità lineare della bici in giri di ruota al secondo (che sarà una grandezza diversa tra 26 e 29) e quindi in gradi/secondo ed infine in radianti/secondo.
Ultima avvertenza, ovviamente non sono considerati gli attriti interni (catena su corone e pignoni, pedali, movimento centrale, mozzi) nè l'attrito della ruota sul terreno.
Risultati
I risultati sono quelli che potete vedere nel file Excel che allego al post: la bici A richiede 556.2 joule di energia mentre la bici B ne richiede 561.1, pari allo 0.87% in più. Di questi 4.8 J in più, 1.8 (lo 0.33% del totale) dipendono dalla maggiore inerzia delle ruote, 3.0 (0,54% del totale) dalla maggiore massa.
Dall'analisi dei dati si possono trarre anche altre conclusioni. Per esempio che i mozzi sono abbastanza insignificanti nel calcolo dell' inerzia delle ruote, visto che comportano tra lo 0.08 e lo 0.11 per cento dell'inerzia della ruota (circa 1/100 di J); il loro peso praticamente influisce solo sulla massa inerziale e quindi sull'accelerazione lineare della bici.
Il modello presentato può essere usato anche per altri calcoli. Per esempio per valutare quanto cambia l'inerzia di una ruota variando i componenti, o per paragonare ruote diverse, ovviamente conoscendo le dimensioni ed i pesi dei singoli componenti.
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